原文/忘記確切出處, 但應該是 NYTimes 2004 年某一天的報紙


2003: Mathematicians Face Uncertainty

這一年確實會被記得是數學家終於承認他們著名的「絕對證明」是無法到達的理想的一年 - 所謂絕對證明,會是一個很好的努力目標,但是只能在相對地簡單的例子中成功。更甚者,數學家們是在媒體嚴厲的目光下被迫承認的,其導因便是三起關於數學證明的案例。

2003年初,美數學家 Daniel Goldston 和他的土耳其同事 Cem Yildirim 發表了一個質數對的證明,宣稱在這世上有無限多個相差 2 的質數對,像是 3 與 5,或 11 與 13。僅管世界各地的專家起先都同意這證明是正確的,幾星期後他們卻在其中發現了一個無可挽救的錯誤。

2002年底俄羅斯數學家 Grigori Perlman 在網路上張貼了一份自稱是龐加萊猜測 - 一個有百年歷史,被稱作拓樸學的數學問題 - 的證明大綱。若Perelman 是對的,他將可獲得 Clay Mathematics Institue 提供給解答者得一百萬美元獎金。但在經過數月的驗察後,數學家們仍未能證實它是對是錯。

更別提只是幾星期或幾個月的延遲了 - 同情一下可憐的 Thomas Hales吧。這位美國數學家已等了整整 5 年數學公會的回音,看他們是否接受他於 98年證明的開普勒 (Johannes Kepler) 猜測: 390 年,這位天文學家認為堆放同樣大小的球體 (開普勒用的例子是船上的炮彈) 最有效的方式就是疊成似金字塔型,跟今天雜貨店老闆把橘子堆在櫃台的方式上一樣。在檢視 Hales的公式五年之後的 2003 年春天,由極富聲望的 Annals of Mathematics期刊指派的世界頂級專家組成的評審團,終於裁定道: 雖然他們沒能在證明中找到無法挽救的錯誤,但他們仍不確定證明是對的。該期刊同意刊載 Hales的證明,但附上聲明說不確定那是對的。

以上三段故事反映出許多現代數學證明的複雜性和抽象性。即使是專家也難以肯定論證的正確性。

既然如此,那麼數學的世界裡到底還剩下什麼? 自從西元前 600 年,古希臘人引進證明的觀念至今,證明在數學裡扮演著重要的角色。歐幾里德在西元前 300 年左右寫就的鉅著 <<幾何原本>> 裡開始使用數學公理 - 一些被認為是不言自明的基本假設 - 伴隨合理的邏輯論證,導出幾何的原理。

隨著十九世紀的數學家進一步推展到更為抽象的理論中,公理證明法變成證明許多違反直覺的觀念不可或缺的工具。

那麼,到底什麼是證明? 有兩種截然不同的答案。第一種我稱之為「右派」(「非對即錯」或「法則至上」)定義: 證明是圍繞著一個給定敘述的事實所建立起來,邏輯正確的論點。另一個「左派」(模糊不清、民主且人本主義)定義則說證明是一個為廣大數學家們所接受的論點。

理論上來說,「右派」對證明的概念是合理的。問題在於除了不證自明的例子外,應該沒有人見過這種完美的證明。大多數人都熟悉的一個例子來自高中數學課課裡,歐幾里德<<幾何原本>>的幾何觀念。但正如十九世紀末德國數學家 David Hilbert 指出的,歐幾里德的許多論點有邏輯上的誤失:他一再使用一些根本沒有被證明的公理,而這些公理又是他證明的基礎。

過了兩千多年的時間, Hilbert 才下了一番工夫找出正確的證明。今天多數數學家,包括我在內,視 Hilbert 的證明為右派證明。但若你死纏賴打逼問我為什麼相信,你會發現我在那裡喃喃自語說他的論點可以說服我和所有我認識的數學家。但這可是左派證明啊,不是右派證明。畢竟我跟所有其他人一樣,以前都以為歐幾里德是對的。

問題就在此。右派定義的數學證明是種不切實際的理想,在現實世界中是不可求的。所有的數學證明實際上都是左派的。一個論證之所以成為證明,是因為數學公會如此同意。但這種同意何時產生? 前述的三個故事作了無言的證明。那三個論證都過於冗長複雜,以致於沒人肯相信它們會符合右派證明。或者說,我們連它們是不是左派證明都不能肯定。我們怎能確定呢?

數學家總說證明之於數學,猶如實驗之於科學家: 辨別對錯的方式。在2003 的事件後,這譬喻似乎比數學家們所承認的還要來得貼切。就像所有的科學家都必須面對實驗錯誤的風險,數學家們也像我們的司法制度一樣,不能永遠都期待絕對證明,而只能求超越合理的懷疑的證明。

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